Seconda prova dell’esame di stato 2009 PNI, alcuni quesiti

26Giu09

Stamattina ho dovuto affrontare la seconda prova dell’ esame di stato. Non è ben chiaro come identificare il tema d’esame che abbiamo fatto, perchè ufficialmente dovrebbe essere quello del liceo scientifico piano nazionale informatica a indirizzo matematico-naturalistico.
Sulla scheda c’era un codice d’esame che iniziava per X, mentre se si cerca su internet le soluzioni si trovano solo del tema d’esame Y557, che è quello PNI normale. Quest’ultimo appare però diverso dal nostro.
I nostri quesiti sono corrispondenti a quelli del tema d’esame Y557, che potete trovare qui

Nei quesiti che ho svolto io c’erano:

Quesito 1:

Si richiede la dimostrazione di un integrale:
integrale da -b a b di |x-a| che risulta a²+b²
È necessario quindi considerare i due casi del modulo: se quello  che c’è dentro è positivo (e quindi resta uguale) oppure è negativo (e allora il modulo lo fa diventare positivo)
inoltre bisogna considerare che si sta facendo l’integrale di una funzione sempre positiva (quindi l’integrale corrisponde all’area)
Dato che “spacchiamo” il modulo nei 2 casi, dovremo fare 2 integrali e poi sommarli tra loro.

  • Se x-a>0 allora x>a, quindi la funzione resta uguale e togliamo le sbarrette del modulo e si mettono le parentesi, cioè risolviamo
    integrale da a a b di (x-a) ; che risulta (ax-x^2/2) da a a b
  • Se x-a<0 allora x<a, quindi la funzione viene cambiata e diventa da (x-a) a (a-x); e risolviamo
    integrale da -b ad a di (a-x); che risulta (x^2/2-ax) da -b ad a

Sommando infine i due risultati tra loro  si ottiene a^2-a^2-(-ab-b^2/2)+b^2/2-ab-(a^2-a^2) e quindi appunto a²+b²

Quesito 8:

Alla festa di compleanno di Anna l’età media dei partecipanti è di 22 anni. Se l’età media degli uomini è 26 anni e quella delle donne è 19, qual è il rapporto tra il numero degli uomini e quello delle donne?

Per prima cosa scriviamo i  dati tenendo conto della formula della media M=(X1+X2+X3+X4+X5….+Xn)/n
indichiamo la somma delle età di tutti gli uomini con S1, mentre la somma delle età di tutte le donne con S2.
indichiamo il numero degli uomini con x e il numero delle donne con y

  • L’età media di tutti è data da (S1+S2)/(x+y) = 22
  • Sappiamo inoltre che S1/x = 26
  • e anche S2/y = 19

Dalle ultime due condizioni ricaviamo che S1 = 26x  ed  S2 = 19y
riportandole nella media generale otteniamo (26x+19y)/(x+y) = 22
si porta poi il  22 a sinistra e si fa il denominatore comune, ottenendo:
26x+19y-22x-22y=0 (il denominatore è sempre positivo e si può eliminare)
quindi 4x-3y=0 e quindi (x/y) = 3/4

Quesito 7:

Era una semplice identità utilizzando i coefficienti binomiali. Il trucco per risolvere queste è ricordarsi che x! = x*(x-1)! oppure x!=x*(x-1)*(x-2)! etc
Per la risoluzione si rimanda alle soluzione a pagina 2 di questo file

Quesito 5:

Si considerino le seguenti espressioni:
0/0 ; 1/0 ; 0/1 ; 0^0
A quali di esse è possibile attribuire un valore numerico? Si motivi la risposta.

Ovviamente solo 0/1 è un valore esistente pari a 0,
0/0 è una forma indeterminata perchè infatti se si considera 0/0 = x cioè 0=0*x si nota che si ottiene 0 per qualunque numero, quindi il risultato è indeterminato.
1/0 è una forma impossibile perchè infatti 1=0*x non esiste nessun numero che moltiplicato per 0 fa ottenere 1
0^0 è anch’essa una forma non definita perchè le regole delle potenze stabiliscono che n^0 = 1 con n diverso da 0, altrimenti 0^0 dovrebbe fare 1, che non è possibile.

Quesito 3:

Una moneta da 2 euro (il suo diametro è 25,75 mm) viene lanciata su un pavimento ricoperto con mattonelle quadrate di lato 10 cm. Quale è la probabilità che la moneta vada a finire internamente ad una mattonella? (cioè non tagli i lati dei quadrati)

La probabilità in casi  come questo è data dal rapporto tra 2 aree, l’area cosiddetta “favorevole” e quella totale.
Perché la moneta non tocchi il lato della mattonella il suo centro deve cadere in un punto la cui distanza dal lato sia minore del raggio; cioè all’interno di un quadrato che ha lo stesso centro e i lati paralleli alla mattonella ed uguali al lato meno il doppio del raggio della moneta.
La probabilità è quindi data dal rapporto tra le aree dei due quadrati
(10-2,575)^2/(10^2)  = 0,55 cioè il 55%

Purtroppo io ho sbagliato l’area da considerare nell’esame, comunque il procedimento è questo.

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One Response to “Seconda prova dell’esame di stato 2009 PNI, alcuni quesiti”

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